python实现kalman滤波的方法

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卡尔曼滤波的本质是对最小二乘法的迭代运算，可以给出时间序列的状态估计。假设其要估计的过程如下：

x[k+1] = A[k]*x[k] + B*u[k] + w[k]  // 状态方程z[k] = H[k]*x[k] + v[k]             // 测量值p(w) ~ N(0, Q)p(v) ~ N(0, R)

其中w和v代表满足正态分布的噪音项，该正态分布均值为0，协方差矩阵分别为Q和R。u代表对x的控制项，z代表测量值，k+1和k代表不同时刻的值。A，B，H分别为相应的关联矩阵。卡尔曼滤波将该过程的预测值分为两部分，一是通过模型对先验值的推断，称为时间更新；二是通过测量值进行修正，称为测量更新。其核心方程为：

// 时间更新xb[k+1] = A[k]*x[k] + B*u[k]Pb[k+1] = A[k]*P[k]*transverse(A[k]) + Q[k]// 测量更新K[k] = Pb[k]*transverse(H[k])*inverse(H[k]*Pb[k]*transverse(H[k])+R[k])x[k] = xb[k] + K*(z[k] - H[k]*xb[k])P[k] = (I - K[k]*H[k])*Pb[k]

其中xb为状态先验估计值，Pb为先验误差协方差矩阵，P为后验误差协方差矩阵。在每次时间更新中，利用前一个后验估计值给出下一时刻的先验估计值xb，并给出下一个时刻的先验误差协方差估计。在每次测量更新中，先计算出卡尔曼增益K，然后利用测量值z和先验估计值xb计算出当前的后验估计值x，最后再给出当前的后验误差协方差估计。

这两个更新过程融合了先验估计（从过去的数据和模型推断的系统状态）和可能存在噪音的测量值，从而给出了系统最有可能的状态（分布）。该方法的优点在于，在测量和控制都不够精确的情况下，给出结合二者数据的最佳估计。下面给出简单的python代码及运行结果供参考。

import numpyclass Kalman_Filter:    def __init__(self, A, H, Q, R, z, B = None, impulse = None):        self._A = A        self._H = H        self._Q = Q        self._R = R        self._z = z        self.m = len(z)        self.n = len(z[0])        self._identity = numpy.ones([self.n, self.n])        if (B is None):            self._B = numpy.zeros([self.n, self.n])        else:            self._B = B        if (impulse is None):            self._impulse = numpy.zeros([self.m, self.n])        else:            self._impulse = impulse    def __del__(self):        return    def _kalman(self, xb, Pb, z, impulse):        # 测量更新        tmp = numpy.matmul(Pb, self._H.T)        K = numpy.matmul(tmp, numpy.linalg.inv(numpy.matmul(self._H, tmp) + self._R))        x = xb + numpy.matmul(K, (z - numpy.matmul(self._H, xb)))        P = numpy.matmul((self._identity - numpy.matmul(K, self._H)), Pb)        # 时间更新        xb = numpy.matmul(self._A, x) + numpy.matmul(self._B, impulse)        Pb = numpy.matmul(numpy.matmul(self._A, P), self._A.T) + self._Q        return x, xb, Pb    def _kalman1d(self, xb, Pb, z, impulse):        # 测量更新        tmp = Pb*self._H        K = tmp/(self._H*tmp + self._R)        x = xb + K*(z - self._H*xb)        P = (1 - K*self._H)*Pb        # 时间更新        xb = self._A*x + self._B*impulse        Pb = self._A*P*self._A + self._Q        return x, xb, Pb    def get_filtered_data(self, xb, Pb):        xx = []        for i in range(0, self.m):            if (self.n == 1):                (x, xb, Pb) = self._kalman1d(xb, Pb, self._z[i], self._impulse[i])            else:                (x, xb, Pb) = self._kalman(xb, Pb, self._z[i], self._impulse[i])            xx.append(x)        return xx# =========== test ===============import matplotlib.pyplott = numpy.linspace(0,10,100)   # 横坐标，时间# ================= 2d ==================A = numpy.array([[1,0.1], [0,1]])H = numpy.array([[1,0],[0,1]])Q = 0.5*numpy.array([[1,0],[0,1]])R = 0.5*numpy.array([[1,0],[0,1]])noise = numpy.random.randn(2, 100)real = numpy.vstack((10*numpy.sin(t), 10*numpy.cos(t)))   # 真实值z = real + noise   # 测量值kf = Kalman_Filter(A, H, Q, R, z.T)xb = numpy.array([0,10])Pb = numpy.array([[1,0],[0,1]])x = kf.get_filtered_data(xb, Pb)fig = matplotlib.pyplot.figure(figsize=(10.24,7.68))matplotlib.pyplot.plot(t, z.T, 'r')matplotlib.pyplot.plot(t, real.T, 'g')matplotlib.pyplot.plot(t, x, 'b')matplotlib.pyplot.show()# =================== 1d =================A = 1H = 1Q = 0.5R = 0.5B = -1     # 根据反馈进行修正noise = numpy.random.randn(1, 100)real = 10*numpy.exp(-t*t)z = real + noisekf1 = Kalman_Filter(A, H, Q, R, z.T)   # 不加反馈kf2 = Kalman_Filter(A, H, Q, R, z.T, B, noise.T)   # 反馈修正xb = 10Pb = 1x1 = kf1.get_filtered_data(xb, Pb)x2 = kf2.get_filtered_data(xb, Pb)fig = matplotlib.pyplot.figure(figsize=(10.24,7.68))matplotlib.pyplot.subplot(3,1,1)  # 下面画第一个图，不带反馈修正matplotlib.pyplot.plot(t, z.T, 'r')matplotlib.pyplot.plot(t, real.T, 'g')matplotlib.pyplot.plot(t, x1, 'b')matplotlib.pyplot.subplot(3,1,2)    # 下面画第二个图，带反馈修正matplotlib.pyplot.plot(t, z.T, 'r')matplotlib.pyplot.plot(t, real.T, 'g')matplotlib.pyplot.plot(t, x2, 'b')matplotlib.pyplot.subplot(3,1,3)     # 下面画第三个图，比较带反馈和不带反馈的结果matplotlib.pyplot.plot(t, x1, 'r')matplotlib.pyplot.plot(t, real.T, 'g')matplotlib.pyplot.plot(t, x2, 'b')matplotlib.pyplot.show()

计算结果如下。可以看到，在大部分情况下，蓝线（Kalman滤波结果）要比红线（测量值）更加接近绿线（真实值）。在第二个图中，对比了加入外部反馈以根据测量结果进行修正和不加的情况。可以看到，增加反馈后在某些较大的值处给出比较好的结果，在0点附近震荡更加均匀。但反馈无法在所有位置都改善结果。

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