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C语言经典案例青蛙跳台阶和汉诺塔问题怎么实现

发表于：2025-02-02 作者：千家信息网编辑

千家信息网最后更新 2025年02月02日，这篇文章主要介绍"C语言经典案例青蛙跳台阶和汉诺塔问题怎么实现"，在日常操作中，相信很多人在C语言经典案例青蛙跳台阶和汉诺塔问题怎么实现问题上存在疑惑，小编查阅了各式资料，整理出简单好用的操作方法，希

千家信息网最后更新 2025年02月02日C语言经典案例青蛙跳台阶和汉诺塔问题怎么实现

这篇文章主要介绍"C语言经典案例青蛙跳台阶和汉诺塔问题怎么实现"，在日常操作中，相信很多人在C语言经典案例青蛙跳台阶和汉诺塔问题怎么实现问题上存在疑惑，小编查阅了各式资料，整理出简单好用的操作方法，希望对大家解答"C语言经典案例青蛙跳台阶和汉诺塔问题怎么实现"的疑惑有所帮助！接下来，请跟着小编一起来学习吧！

一、青蛙跳台阶

题目

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法

思路

遇见题目我们可以在纸上先动手画画，把最简单的几种方式列出来，作比较，找规律。

分析

按照上面表格可以从跳法次数，过程，或者两者结合找规律

1. 从跳法次数分析

观察表格，可以知道从n>=3时，第n个数就是前两个数的和（与斐波那契数列一样）
我们自己推论，当台阶数为n时，设跳法有f(n)次，如果青蛙先跳1阶，则剩下的台阶数为n-1，即剩余跳法有f(n-1)次；如果青蛙先跳2阶，则剩下的台阶数为n-2，即剩余跳法有f(n-2)次。
故跳法次数f(n)=f(n-1)+f(n-2)，因为等号右边有两个值，故当n=1，n=2时为最后的特殊限制条件
下面代码为递归求法，如果想用非递归，可以将递归通项改成循环

代码1（递归）

#include int jump(int n){ if (n == 1)  return 1; if (n == 2)  return 2; return jump(n - 1) + jump(n - 2);}int main(){ int n; scanf("%d", &n); int ret = jump(n); printf("%d", ret); return 0;}

2. 从过程分析

观察表格，可以知道，跳n阶台阶，跳两阶台阶次数可以为0到n/2次，而每一次跳两阶台阶的顺序也是不定的。可以通过计数原理的组合数C(n，m)，表示从n个数中选m个数排列。n表示每次需要跳的次数，m表示一次跳两阶的次数
组合数C(n，m)，可以由n！/(m！*(n-m)！)求得
下面代码为非递归求法，如果想要写成递归，可以根据循环修改

代码2（非递归）

#include int fac(int m){ int i = 0; int count = 1; for (i = 1; i <= m; i++) {  count *= i; } return count;}int jump(int n){ int i = 0;      //i为跳两阶台阶的次数 int sum = 0;     //sum为计算跳法 for (i = 0; i <= n / 2; i++) {  int a = 0;  a = n - i * 2 + i;   //a为跳到n阶台阶跳的次数   sum += fac(a) / (fac(i)*fac(a - i)); } return sum;}int main(){ int n; scanf("%d", &n); int ret = jump(n); printf("%d", ret); return 0;}

二、青蛙跳台阶变式1

题目

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶…也可以跳n级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法

分析

根据原题推论，当台阶数为n时，设跳法有f(n)次，如果青蛙先跳1阶，则剩下的台阶数为n-1，即剩余跳法有f(n-1)次；如果青蛙先跳2阶，则剩下的台阶数为n-2，即剩余跳法有f(n-2)次。
那么当青蛙跳3阶台阶，则剩下的台阶数为n-3，即剩余跳法有f(n-3)次…当青蛙跳n阶台阶，则剩下的台阶数为n-n，即剩余跳法有f(n-n)次
故跳法次数f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)…+f(n-n)
由推论可得f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)…+f(n-n)，将其代入上面式子
故跳法次数为f(n)=2*f(n-1)，因为等号右边只有一个值，故n=1为最后的特殊限制条件

代码3（递归）

#include int jump(int n){ if (n == 1)  return 1; return 2*jump(n - 1);}int main(){ int n; scanf("%d", &n); int ret = jump(n); printf("%d", ret); return 0;}

三、青蛙跳台阶变式2

题目

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶…也可以跳m级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法(m<=n)

分析

根据变式1推论得f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)…+f(n-n)
而这里最多一次只能跳m阶，故f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)…+f(n-m)
由推论得f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)…+f(n-m)+f(n-m-1)，代入上面式子
故跳法次数为f(n)=2*f(n-1)-f(n-m-1)
因为通过递归n的值在减少，当n

代码4（递归）

#include int jump(int n,int m){ if (n > m)  return 2 * jump(n - 1, m) - jump(n - 1 - m, m); else {  if (n == 1)   return 1;  return 2 * jump(n - 1, n); }}int main(){ int n, m; scanf("%d%d", &n, &m); int ret = jump(n,m); printf("%d", ret); return 0;}

四、汉诺塔问题（求步数）

题目

有A，B，C三个柱子，A柱子上从上到下，从小到大排列着n个圆盘。现要求将A柱子上的n个圆盘全部移动到C柱子上，依然按照从上到下，从小到大的顺序排列。且对移动过程要求如下：
a）一次只能移动一个盘子。
b）移动过程中大盘子不允许出现在小盘子上方。
问：总共需要移动的步数是多少？

思路

因为求的是步数，我们可以通过找前面几组数据，观察是否有什么规律

分析

通过表格观察，可以知道盘子数为n时，步数为20+21+…+2n-1，即2n-1
我们可以通过下面这张图片来推论：
假设盘子数量为n，通过化繁为简思想，我们可以把盘子分成两个部分。上面n-1个盘子，和最下面一个盘子。移动步骤如下：
将最上面的n-1个盘子移动到B柱上
将最下面的盘子移动到C柱上
再将B柱上的n-1个盘子移动到C柱上
问题转化成如何移动最上面n-1个盘子。按照上面的思路解决n-1个盘子移动的问题。
假设移动n个盘子需要的步数为f(n)，则移动n-1个盘子需要f(n-1)步。
故移动步数为f(n)=f(n-1)+1+f(n-1)，即f(n)=2*f(n-1)+1
通过等比数列变形又可以得到f(n)=2n-1

代码5（非递归）

#include #include int main(){ int n; scanf("%d", &n); int count =0;    count=(int)pow(2,n)-1; printf("%d", count); return 0;}

代码6（递归）

#include int tower(int n){ if (n == 1)  return 1; else  return 2 * tower(n - 1) + 1;}int main(){ int n; scanf("%d", &n); int ret=tower(n); printf("%d", ret); return 0;}

五、汉诺塔问题（求移动过程）

题目

有A，B，C三个柱子，A柱子上从上到下，从小到大排列着n个圆盘。现要求将A柱子上的n个圆盘全部移动到C柱子上，依然按照从上到下，从小到大的顺序排列。且对移动过程要求如下：
a）一次只能移动一个盘子。
b）移动过程中大盘子不允许出现在小盘子上方。
问：打印移动的方案 (例如, 移动A柱最上面的圆盘到C柱, 则输出"A -> C")

思路

因为求的是移动方案，所以我们可以将前几组数据列出来，结合递归化简为繁的思想找共性和非共性

分析

通过观察得到：除了n=1，n>1时，都是先将A柱上面n-1个盘子拿到B柱（粗字体为其过程），再将A柱最下面盘子拿到C柱。此时A柱变成辅助柱，再将B柱上的盘子放到C柱
故将A柱最下面盘子移到C柱为中间过程
上一步为将初始柱（A柱）上面n-1个盘子借助辅助柱（C柱）移到目标柱（B柱）【其实可以这里看作单独一个n-1的汉诺塔，将A柱上的盘子移动到B柱】
下一步为将初始柱（B柱）上面n-1个盘子借助辅助柱（A柱）移到目标柱（C柱）【其实可以这里看作单独一个n-1的汉诺塔，将B柱上的盘子移动到C柱】
而上一步，中间过程，下一布就是递归的核心思想
而当n=1时，盘子数只有一个，我们将其直接放到目标柱即可（其为最终的限制条件）
初始柱，辅助柱，目标柱，其实就是把该步骤的移动过程当作一个单独的汉诺塔问题，需要移动盘子现在所在的位置为初始柱，要将其放到的位置就是目标柱

代码7（递归）

#include void hanio(int n, char x, char y, char z){ if (n == 1)  printf("%c->%c\n",x,z);  //当盘子只剩一个时，直接打印初始柱移动到目标柱的过程 else {  hanio(n - 1, x, z, y);  //将n-1个盘子从起始柱放到目标柱(第一次A->B，第二次B->A，后面往复)          printf("%c->%c\n", x, z); //打印初始柱移动到目标柱的过程          hanio(n - 1, y, x, z);  //将n-1个盘子从起始柱放到目标柱(第一次B->C，第二次C->B，后面往复) }}int main(){ int n; scanf("%d", &n); hanio(n,'A','B','C'); return 0;}

到此，关于"C语言经典案例青蛙跳台阶和汉诺塔问题怎么实现"的学习就结束了，希望能够解决大家的疑惑。理论与实践的搭配能更好的帮助大家学习，快去试试吧！若想继续学习更多相关知识，请继续关注网站，小编会继续努力为大家带来更多实用的文章！

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