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Python怎么实现12种降维算法

发表于：2024-11-25 作者：千家信息网编辑

千家信息网最后更新 2024年11月25日，今天小编给大家分享一下Python怎么实现12种降维算法的相关知识点，内容详细，逻辑清晰，相信大部分人都还太了解这方面的知识，所以分享这篇文章给大家参考一下，希望大家阅读完这篇文章后有所收获，下面我们

千家信息网最后更新 2024年11月25日Python怎么实现12种降维算法

今天小编给大家分享一下Python怎么实现12种降维算法的相关知识点，内容详细，逻辑清晰，相信大部分人都还太了解这方面的知识，所以分享这篇文章给大家参考一下，希望大家阅读完这篇文章后有所收获，下面我们一起来了解一下吧。

为什么要进行数据降维

所谓降维，即用一组个数为 d 的向量 Zi 来代表个数为 D 的向量 Xi 所包含的有用信息，其中 d

通常，我们会发现大部分数据集的维度都会高达成百乃至上千，而经典的 MNIST，其维度都是 64。

MNIST 手写数字数据集

但在实际应用中，我们所用到的有用信息却并不需要那么高的维度，而且每增加一维所需的样本个数呈指数级增长，这可能会直接带来极大的「维数灾难」;而数据降维就可以实现：

使得数据集更易使用
确保变量之间彼此独立
降低算法计算运算成本

去除噪音一旦我们能够正确处理这些信息，正确有效地进行降维，这将大大有助于减少计算量，进而提高机器运作效率。而数据降维，也常应用于文本处理、人脸识别、图片识别、自然语言处理等领域。

数据降维原理

往往高维空间的数据会出现分布稀疏的情况，所以在降维处理的过程中，我们通常会做一些数据删减，这些数据包括了冗余的数据、无效信息、重复表达内容等。

例如：现有一张 1024*1024 的图，除去中心 50*50 的区域其它位置均为零值，这些为零的信息就可以归为无用信息;而对于对称图形而言，对称部分的信息则可以归为重复信息。

因此，大部分经典降维技术也是基于这一内容而展开，其中降维方法又分为线性和非线性降维，非线性降维又分为基于核函数和基于特征值的方法。

线性降维方法：PCA 、ICA LDA、LFA、LPP(LE 的线性表示)
非线性降维方法：

基于核函数的非线性降维方法——KPCA 、KICA、KDA

基于特征值的非线性降维方法(流型学习)——ISOMAP、LLE、LE、LPP、LTSA、MVU

哈尔滨工业大学计算机技术专业的在读硕士生 Heucoder 则整理了 PCA、KPCA、LDA、MDS、ISOMAP、LLE、TSNE、AutoEncoder、FastICA、SVD、LE、LPP 共 12 种经典的降维算法，并提供了相关资料、代码以及展示，下面将主要以 PCA 算法为例介绍降维算法具体操作。

主成分分析(PCA)降维算法

PCA 是一种基于从高维空间映射到低维空间的映射方法，也是最基础的无监督降维算法，其目标是向数据变化最大的方向投影，或者说向重构误差最小化的方向投影。它由 Karl Pearson 在 1901 年提出，属于线性降维方法。与 PCA 相关的原理通常被称为最大方差理论或最小误差理论。这两者目标一致，但过程侧重点则不同。

最大方差理论降维原理

将一组 N 维向量降为 K 维(K 大于 0，小于 N)，其目标是选择 K 个单位正交基，各字段两两间 COV(X,Y) 为 0，而字段的方差则尽可能大。因此，最大方差即使得投影数据的方差被最大化，在这过程中，我们需要找到数据集 Xmxn 的最佳的投影空间 Wnxk、协方差矩阵等，其算法流程为：

算法输入：数据集 Xmxn;
按列计算数据集 X 的均值 Xmean，然后令 Xnew=X−Xmean;
求解矩阵 Xnew 的协方差矩阵，并将其记为 Cov;
计算协方差矩阵 COV 的特征值和相应的特征向量;
将特征值按照从大到小的排序，选择其中最大的 k 个，然后将其对应的 k 个特征向量分别作为列向量组成特征向量矩阵 Wnxk;
计算 XnewW，即将数据集 Xnew 投影到选取的特征向量上，这样就得到了我们需要的已经降维的数据集 XnewW。

最小误差理论降维原理

而最小误差则是使得平均投影代价最小的线性投影，这一过程中，我们则需要找到的是平方错误评价函数 J0(x0) 等参数。

主成分分析(PCA)代码实现

关于 PCA 算法的代码如下：

from __future__ import print_functionfrom sklearn import datasetsimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.cm as cmximport matplotlib.colors as colorsimport numpy as np%matplotlib inlinedef shuffle_data(X, y, seed=None):   if seed:     np.random.seed(seed)   idx = np.arange(X.shape[0])   np.random.shuffle(idx)   return X[idx], y[idx]# 正规化数据集 Xdef normalize(X, axis=-1, p=2):   lp_norm = np.atleast_1d(np.linalg.norm(X, p, axis))   lp_norm[lp_norm == 0] = 1   return X / np.expand_dims(lp_norm, axis)# 标准化数据集 Xdef standardize(X):   X_std = np.zeros(X.shape)   mean = X.mean(axis=0)   std = X.std(axis=0)   # 做除法运算时请永远记住分母不能等于 0 的情形   # X_std = (X - X.mean(axis=0)) / X.std(axis=0)    for col in range(np.shape(X)[1]):     if std[col]:       X_std[:, col] = (X_std[:, col] - mean[col]) / std[col]   return X_std# 划分数据集为训练集和测试集def train_test_split(X, y, test_size=0.2, shuffle=True, seed=None):   if shuffle:     X, y = shuffle_data(X, y, seed)   n_train_samples = int(X.shape[0] * (1-test_size))   x_train, x_test = X[:n_train_samples], X[n_train_samples:]   y_train, y_test = y[:n_train_samples], y[n_train_samples:]   return x_train, x_test, y_train, y_test# 计算矩阵 X 的协方差矩阵def calculate_covariance_matrix(X, Y=np.empty((0,0))):   if not Y.any():      Y = X   n_samples = np.shape(X)[0]   covariance_matrix = (1 / (n_samples-1)) * (X - X.mean(axis=0)).T.dot(Y - Y.mean(axis=0))   return np.array(covariance_matrix, dtype=float)# 计算数据集 X 每列的方差def calculate_variance(X):   n_samples = np.shape(X)[0]   variance = (1 / n_samples) * np.diag((X - X.mean(axis=0)).T.dot(X - X.mean(axis=0)))   return variance# 计算数据集 X 每列的标准差def calculate_std_dev(X):   std_dev = np.sqrt(calculate_variance(X))   return std_dev# 计算相关系数矩阵def calculate_correlation_matrix(X, Y=np.empty([0])):   # 先计算协方差矩阵   covariance_matrix = calculate_covariance_matrix(X, Y)   # 计算 X, Y 的标准差   std_dev_X = np.expand_dims(calculate_std_dev(X), 1)   std_dev_y = np.expand_dims(calculate_std_dev(Y), 1)   correlation_matrix = np.divide(covariance_matrix, std_dev_X.dot(std_dev_y.T))   return np.array(correlation_matrix, dtype=float)class PCA():   """   主成份分析算法 PCA，非监督学习算法.   """   def __init__(self):     self.eigen_values = None     self.eigen_vectors = None     self.k = 2   def transform(self, X):     """      将原始数据集 X 通过 PCA 进行降维     """     covariance = calculate_covariance_matrix(X)     # 求解特征值和特征向量     self.eigen_values, self.eigen_vectors = np.linalg.eig(covariance)     # 将特征值从大到小进行排序，注意特征向量是按列排的，即 self.eigen_vectors 第 k 列是 self.eigen_values 中第 k 个特征值对应的特征向量     idx = self.eigen_values.argsort()[::-1]     eigenvalues = self.eigen_values[idx][:self.k]     eigenvectors = self.eigen_vectors[:, idx][:, :self.k]     # 将原始数据集 X 映射到低维空间     X_transformed = X.dot(eigenvectors)     return X_transformeddef main():   # Load the dataset   data = datasets.load_iris()   X = data.data   y = data.target   # 将数据集 X 映射到低维空间   X_trans = PCA().transform(X)   x1 = X_trans[:, 0]   x2 = X_trans[:, 1]   cmap = plt.get_cmap('viridis')   colors = [cmap(i) for i in np.linspace(0, 1, len(np.unique(y)))]   class_distr = []   # Plot the different class distributions   for i, l in enumerate(np.unique(y)):       _x1 = x1[y == l]       _x2 = x2[y == l]       _y = y[y == l]       class_distr.append(plt.scatter(_x1, _x2, color=colors[i]))   # Add a legend   plt.legend(class_distr, y, loc=1)   # Axis labels   plt.xlabel('Principal Component 1')   plt.ylabel('Principal Component 2')   plt.show()if __name__ == "__main__":   main()

最终，我们将得到降维结果如下。其中，如果得到当特征数 (D) 远大于样本数 (N) 时，可以使用一点小技巧实现 PCA 算法的复杂度转换。

PCA 降维算法展示

当然，这一算法虽然经典且较为常用，其不足之处也非常明显。它可以很好的解除线性相关，但是面对高阶相关性时，效果则较差;同时，PCA 实现的前提是假设数据各主特征是分布在正交方向上，因此对于在非正交方向上存在几个方差较大的方向，PCA 的效果也会大打折扣。