Josephus问题的不同实现方法与总结

  1 /************************************************************************/  2 /*                   Josephus问题--数组实现                           */  3 /************************************************************************/  4 #include   5 #include   6   7 int Josephus(int times, int number, int id){  8     int *a;  9     int i, count = 0, t = 0;  10     a = (int *)malloc(sizeof(int) * number); 11  12     for(i = 0; i < number; i++) 13         a[i] = i + 1;             // 数组a用于储存每个元素的编号 14     i = id - 1; 15  16     while(count < number - 1){ 17         if(a[i] != 0) 18             t++; 19         if(t == times){ 20             t = 0;  21             count++; 22             printf("%4d", a[i]); 23             a[i] = 0;                // 当该元素被剔除时，该数组元素置为0 24         } 25         i++; 26         if(i == number) 27             i = 0; 28     } 29     for(i=0;i 62 #include  63  64 typedef struct LNode 65 { 66     int data; 67     struct LNode *next; 68 }LNode,*Linkhead; 69 void Josephus(int m,int n,int k) 70 { 71     Linkhead p,r,head = NULL; 72     int i; 73     for(i = 1;i <= n;i++) 74     { 75         p = (Linkhead)malloc(sizeof(LNode));//申请一个新的链结点 76         p->data = i;//存放第i个结点的编号 77         if(head == NULL) 78             head = p; 79         else 80             r->next = p;      // 因为Insert和Del操作都需要之前一个节点的地址，故用r来存储。其作用类似栈的top 81         r = p; 82     } 83     p->next = head;//至此，建立一个循环链表 84  85     p = head; 86     for(i = 1;i < k;i++) 87     { 88         r=p; 89         /*请注意，此行不是多余的，因为当k!=1,但m=1时如果没有这条语句，此时删除动作无法完成*/ 90         p=p->next; 91     }        //此时p指向第1个出发结点 92  93     while(p->next != p) 94     { 95         for(i = 1;i < m;i++) 96         { 97             r = p; 98             p = p->next; 99         }                        //p指向第m个结点,r指向第m-1个结点100         r->next = p->next;        //删除第m个结点101         printf("%4d",p->data);    //依次输出删除结点的编号102         free(p);                //释放被删除结点的空间103         p = r->next;            //p指向新的出发结点104     }105     printf("\n最后剩余的结点是:%4d\n",p->data);//输出最后一个结点的编号106 }107 108 int main(){109     int times, number, id;110     printf("请输入总人数：");111     scanf("%d", &number);112     printf("请输入报数周期:");113     scanf("%d", ×);114     printf("请输入开始报数的编号：");115     scanf("%d", &id);116     Josephus(times, number, id);117 118     return 0;119 }120 121 /************************************************************************/122 /* 总结：123         优点为可以得出每次被剔除的元素编号124         缺点为相较数组方法需要更多的计算量125         总体而言与数组方法相差无几                                        */126 /************************************************************************/127 128 /************************************************************************/129 /*             Josephus问题--数学归纳法直接计算                       */130 /************************************************************************/131 #include 132 int main() {  133     int answer = 0;  134     int times, number, i, id;    // number为环内总元素个数，times为报数周期， id为从第几个元素开始报数135     printf("请分别输入总人数和循环次数：");136     scanf("%d %d", &number, ×);137     printf("起始报号者的编号：");138     scanf("%d", &id);139     for(i = 1; i <= number; i++) {  140         answer = (answer + times) % i;      // 核心算法，利用数学归纳法得出141     }142     if(answer + id == number)143         printf("Survial: %d\n", number);    // 防止当幸存者为最后一个编号时输出0的情况144     else145         printf("Survival: %d\n",(answer + id) % number);  146         // 这边利用number对answer进行取余操作以防止编号数值超过最大编号（溢出）147     148     return 0;149 }

                                           对于Josephus问题有两个地方是可以进行优化的。 (总人数为N，编号为从0~N-1；经过M次报数去除一个成员，剩余成员个数为numleft， 记M%numleft为mPrime)

　1、被移除的成员离上一个成员之间的距离是M%numleft-1（报数次为M%numleft）.当M大于N时，该计算方式将节省大量时间
2、当mPrime大于numleft的时候可以反向遍历该表来查找要去除的成员。这样可以节省时间。同样这也就要求了该表必须是一个双向表才行。（即含有Previous方法）
　该算法实现原理即为：

　　第一轮，必定为编号M%N-1的成员被去除，第二轮为在第一轮的基础上即从编号为M%N的成员开始正移mPrime-1个单位（或者反移numleft-mPrime-1个单位）。若将M%N即为编号0，开始重新编号，那么第二轮被删除的成员编号便是M%（numleft）-1，由此可得该轮要被删除的成员与上一轮去除成员之间的距离为M%numleft，这里可利用迭代器来实现。

  这里我们便可以得到成员编号与该轮成员数目的关系是：（n表示该轮所剩余的成员数目，Index（n）表示该轮成员的编号（从0开始））   Index(n) = (Index(n - 1) + m) % n。    那么按照这个过程，我们这样一直移除元素下去，肯定能够找到最后一个被移除的元素。    这个元素则对应只有一个元素的环，很显然，它的值为0。也就是Index(1) = 0。    对于这个元素的索引，它对应两个元素的索引是多少呢？   按照前面的过程，我们倒推回去就是了。Index(2) = (Index(1) + m) % 2。   那么对应3个，4个元素的呢？我们这样一路继续下去就可以找到对应到n个元素的索引了。    所以，我们发现了一个有意思的数学归纳关系：    f(1) = 0,  f(n) = (f(n - 1) + m) % n。    按照这个关系，我们可以得到最后一个被取出来的元素对应到n个元素的环里的索引值。 

至此，我们可以发现，利用count计数从而删除成员的方法与此相比起来逊色不少，故之后我们将采用此方法来解决问题。